借金を残して親や親族が亡くなった場合に、相続放棄をするべき人は相続人です。
ですから、相続人が誰か、ということが重要なポイントになってきます。
また、相続放棄を誰かがすると、場合によっては、他の方が相続人になってしまうケースもあります。

どういった場合、誰が相続人となるのでしょうか？

例えば、夫と妻と子供という家庭において、妻が亡くなった場合、夫と子供が相続人となります。
また、亡くなったひとが未婚で子供もいないような場合、その親が相続人となります。

順番としては、
第０順位．配偶者（つねに相続人）
第１順位．子供以下直系卑属のライン
第２順位．親以降直系尊属のライン（第１順位の相続人が誰もいない時のみ）
第３順位．兄弟姉妹の横のライン（第１順位、第２順位の相続人が誰もいない時のみ）
となります。

ややこしいですので、自分が相続する可能性がある人を見たいと思います。

確実に相続人になるケース

父母の死亡
配偶者の死亡

場合によっては相続人となるケース

子供の死亡
兄弟姉妹の死亡
祖父母の死亡
父母の兄弟姉妹の死亡
祖父母の兄弟姉妹の死亡

これらの方がお亡くなりになったとき、もし自身が相続人となってしまった場合に、相続するのか、しないのかを決めておくほうがよいかと思います。